Der Weg, den ich vorschlage, mag dir ein wenig unkonventionell erscheinen, aber er könnte dir deinen sämtlichen Daten retten. Du könntest ein alternatives Recovery-Programm installieren, dass dann auch richtige Backups auf deine SD-Karte machen können sollte. Diese kannst du dann am Computer extrahieren. Ein kompletter Restore wird nichts bringen, da du dann ja auch die Fehler wiederherstellen würdest.
Aber vielleicht reicht es ja einfach den Cache zu löschen. Dazu gehst du in der Stock Recovery (dem Standard-Recovery-Programm) auf wipe cache partition. Dann startest du das FP neu. Es könnte sein, dass es schon dann keine Probleme mehr macht.
Außerdem würde ich ausprobieren, ob das manuelle Installieren von Fairphone OS dein Problem löst. Dabei werden nur die Systemdateien gelöscht, aber weder Apps noch persönliche Dateien.
##Komplettes (“Nandroid”) Backup
Das Folgende bezieht sich auf Windows.
###Was du brauchst
- Minimal ADB and Fastboot
- ClockWorkMod (CWM) Recovery (Forum-Link)
- Einen Entzipper, der .tar-Dateien entzippen kann, z.B. 7Zip.
- USB-Kabel
- SD-Karte
###Installation von CWM & Backup
- Füge den Minimal-adb-…-Ordnerpfad zu deinen Systemumgebungsvariablen hinzu, damit du das Programm in jedem beliebigen Ordner benutzen kannst.
- Dazu gehst du zu Systemsteuerung > System > Erweiterte Systemeinstellungen > Umgebungsvariablen.
- Im unteren Bereich (Systemvariablen) klickst du auf Path und dann auf Bearbeiten….
- Je nach Windows-Version fügst du den Installationspfad von Minimal ADB and Fastboot nun ans Ende der Path-Variable an (Windows 7), oder erstellst eine neue Variable in der Liste (Windows 10). Bei mir lautet die neue Variable
C:\Program Files (x86)\Minimal ADB and Fastboot. - Nun gehst du in den Ordner, wo du CWM heruntergeladen hast und machst auf eine freie Fläche im Ordner shift+ Rechts-Klick. Wähle Eingabeaufforderung hier öffnen.
- Starte dein Fairphone normal und aktiviere “USB-Debugging” in den Entwicklereinstellungen. [Edit by Stefan am 28.9.16.]
- Verbinde das Fairphone dann mit dem Computer per USB. (Es muss ein Datenkabel sein, also ein Kabel, das nicht nur zum Laden verwendet werden kann.)
- Tippe in die Eingabeaufforderung (“cmd”) folgendes:
adb devices. Wenn das Fairphone richtig erkannt wird, dann sollte jetzt die Seriennummer erscheinen. (Wenn nicht, musst du eventuell in den Windows-Gerätemanager und den Treiber für das Handy manuell aktualisieren.) - Dann folge dieser Anleitung, um CWM auf dein Fairphone zu verschieben und zu installieren.
- Tippe
adb reboot recoveryin die cmd. Das Fairphone sollte in das neue Recovery-Programm starten. - In CWM wähle backup and restore und dann backup to external sdcard. Es wird ein komplettes Backup auf die SD-Karte erstellt. Am Computer kannst du die Backup-Dateien dann entzippen. Hier gibt es ein Tutorial dazu (auf English).
- Wähle nun wipe data/factory reset in CWM aus.
- Dann reboot system now. Wenn du CWM behalten möchtest, musst du noch bestätigen, dass CWM verhindern soll, dass wieder automatisch die Stock Recovery installiert wird.
Falls du Fragen hast, beantworte ich sie gerne! 
PS.: Ich mache diesen Post zu einem Wiki, damit andere ihn verbessern können.